Binomische Formeln
Die binomischen Formeln sind ein wichtiger Bestandteil beim Ausmultiplizieren von Termen.
Überblick
1. binomische Formel: [math](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/math]
2. binomische Formel: [math](a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/math]
3. binomische Formel: [math]a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)[/math]
Herleitung
Die Hintergründe der binomischen Formeln sind einfach zu erklären: sie kürzen die sonst nötigen Rechenschritte ab!
Konkret sieht man hierbei, was passiert, wenn man ein Binom mit den Variablen a und b multipliziert.
[math]\begin{aligned}(a + b)(a + b) &= (a + b)^2 \\ (a - b)(a - b) &= (a - b)^2\\(a+b)(a-b)\end{aligned}[/math]
Es ergeben sich nun drei Fälle: a und b werden in den zu multiplizierenden Klammern entweder
- addiert
- substrahiert oder
- einmal addiert und einmal subtrahiert
Folgt man nun der nach dem Distributivgesetz üblichen Regel "jedes mit jedem multiplizeren", ergibt sich für:
die erste binomische Formel:
[math] \begin{aligned} (a + b)^2 &= (a+b) \cdot (a+b) \\ &= a \cdot a \underbrace{+ a \cdot b + b \cdot a}_{\substack{+ 2 \cdot a \cdot b}} + b \cdot b \\ &= a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 \end{aligned} [/math]
die zweite binomische Formel:
[math] \begin{aligned} (a - b)^2 &= (a-b) \cdot (a-b) \\ &= a \cdot a \underbrace{- a \cdot b - b \cdot a}_{\substack{- 2 \cdot a \cdot b}} + b \cdot b \\ &= a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 \end{aligned} [/math]
die dritte binomische Formel:
[math] \begin{aligned} (a-b) \cdot (a+b) &= a \cdot a \underbrace{- a \cdot b + b \cdot a}_{\substack{0}} + b \cdot b \\ &= a^2 - b^2 \end{aligned} [/math]
